Question

已知圓：，點是直線：上的一動點，過點作圓M的切線、，切點為、．

（1）當切線PA的長度為時，求點的坐標；

（2）若的外接圓為圓，試問：當運動時，圓是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，說明理由；

（3）求線段長度的最小值．

Answer 1

（1）由題可知，圓M的半徑r＝2，設P（2b,b），

因為PA是圓M的一條切線，所以∠MAP＝90°,

所以MP＝，解得

　　　所以.

　（2）設P（2b，b），因為∠MAP＝90°，所以經過A、P、M三點的圓以MP為直徑，

其方程為：

        即　　

　　　　　由，

解得或，所以圓過定點 .

（3）因為圓方程為

      即 . 

　　　　　圓：，即.

②－①得圓方程與圓相交弦AB所在直線方程為：

              

點M到直線AB的距離,

       相交弦長即：

      　

當時，AB有最小值.