Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+b在x=2處有極值．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，令x=2時導(dǎo)數(shù)等于零，求出a的值，要驗證2兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號；
（2）求導(dǎo)數(shù)，解不等式導(dǎo)數(shù)大于零得原函數(shù)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于零得減區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意得f′（x）=x²-2ax，令f′（2）=0得a=1，經(jīng)驗證a=1時x=2兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，所以a=1符合題意．
（2）由（1）知f′（x）=x²-2x，令f′（x）＞0得x＞2或x＜0；令f′（x）＜0得0＜x＜2，
所以原函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），減區(qū)間為（0，2）．

點評：對于可導(dǎo)函數(shù)的極值點理解必須從兩個方面，一是導(dǎo)數(shù)為零，二是兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號；求單調(diào)區(qū)間就是解導(dǎo)數(shù)不等式，注意若同為增區(qū)間不止一個，要用逗號隔開．