如圖，已知橢圓C：＝1(a＞1)的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P、Q兩點，且求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標

答案：
解析：

　　(Ⅰ)將圓的一般方程化為標準方程

　　，圓的圓心為，半徑．

　　由，得直線，

　　即，

　　由直線與圓相切，得，

　　或(舍去)．　2分

　　當時，，

　　故橢圓的方程為　4分

　　(Ⅱ)(方法一)由知，從而直線與坐標軸不垂直，

　　由可設直線的方程為，

　　直線的方程為．

　　將代入橢圓的方程

　　并整理得：，　6分

　　解得或，因此的坐標為，

　　即　8分

　　將上式中的換成，得．

　　直線的方程為

　　化簡得直線的方程為，

　　因此直線過定點．　12分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：廣東佛岡一中2008屆高三數(shù)學期初摸底測試卷(文) 題型：044

如圖，已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，左、右焦點分別為F1和F2，橢圓C與x軸的兩交點分別為A、B，點P是橢圓上一點(不與點A、B重合)，且∠APB＝2α，∠F1PF2＝2β．

(Ⅰ)若β＝45°，三角形F1PF2的面積為36，求橢圓C的方程；

(Ⅱ)當點P在橢圓C上運動時，試證明tanβ·tan2α是定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2007年廣州市普通高中學生學業(yè)水平測試數(shù)學(理科) 題型：044

如圖，已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，左、右焦點分別為F1和F2，橢圓C與x軸的兩交點分別為A、B，點P是橢圓上一點(不與點A、B重合)，且∠APB＝2a，∠F1PF2＝2β．

(Ⅰ)若β＝45°，三角形F1PF2的面積為36，求橢圓C的方程；

(Ⅱ)當點P在橢圓C上運動，試證明tanβ·tan2a為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇五校高三下學期期初教學質量調研數(shù)學卷（解析版） 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、PB與直線l：y＝－2分別交于點M、N.

（1）設直線AP、PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值；

（2）求線段MN長的最小值；

（3）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：＝1(a>b>0)的長軸長是短軸長的2倍，且過點C(2,1)，點C關于原點O的對稱點為D.

(1)求橢圓E的方程；

(2)點P在橢圓E上，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由；

(3)平行于CD的直線l交橢圓E于M、N兩點，求△CMN面積的最大值，并求此時直線l的方程．

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