【題目】已知是數(shù)列
的前
項(xiàng)和,對(duì)任意
,都有
;
(1)若,求證:數(shù)列
是等差數(shù)列,并求此時(shí)數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2)若,求證:數(shù)列
是等比數(shù)列,并求此時(shí)數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè),若
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析,;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)將代入
,得
,令
,求出
,然后令
,由
得出
,兩式作差可得出數(shù)列
的遞推公式,然后利用定義證明出數(shù)列
是等差數(shù)列,確定該數(shù)列的首項(xiàng),即可求出
;
(2)令求出
,然后令
,由
得出
,兩式相減得出數(shù)列
的遞推公式,然后利用定義證明出數(shù)列
為等比數(shù)列,確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比,即可求出
;
(3)結(jié)合(1)(2)中的結(jié)論,討論、
、
、
、
,結(jié)合條件
,利用數(shù)列
的單調(diào)性,即可得出實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(1)將代入
,得
,即
.
當(dāng)時(shí),則有
,得
;
當(dāng)時(shí), 由
得出
,
上述兩式相減得,
整理得,等式兩邊同時(shí)除以
得
,即
,
所以,數(shù)列是以首項(xiàng)為
為首項(xiàng),以
為公差的等差數(shù)列,
則,因此,
;
(2)對(duì)任意,都有
.
當(dāng)時(shí),
,解得
;
當(dāng)時(shí),由
得出
,
兩式相減得,
化簡(jiǎn)得,
,
所以,數(shù)列是以
為公比,以
為首項(xiàng)的等比數(shù)列,則
,因此,
;
(3),且
.
當(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,不滿足條件;
則,可得
,
可得,
顯然時(shí),數(shù)列
單調(diào)遞增,不滿足條件,
.
當(dāng)時(shí),則有
顯然成立;
當(dāng)時(shí),若
,則數(shù)列
的最大項(xiàng)為
,
,即
恒成立;
當(dāng)時(shí),數(shù)列
的最大項(xiàng)為
,
則滿足條件;
當(dāng)時(shí),
,數(shù)列
的最大項(xiàng)為
,不滿足條件;
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】共有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的五個(gè)座位,在甲同學(xué)不坐2號(hào)座位,乙同學(xué)不坐5號(hào)座位的條件下,甲、乙兩位同學(xué)的座位號(hào)相加是偶數(shù)的概率為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的左,右焦點(diǎn)分別為
,且
與短軸的一個(gè)端點(diǎn)Q構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形,點(diǎn)P(
)在橢圓
上,過(guò)點(diǎn)
作互相垂直且與x軸不重合的兩直線AB,CD分別交橢圓
于A,B,C,D且M,N分別是弦AB,CD的中點(diǎn)
(1)求橢圓的方程
(2)求證:直線MN過(guò)定點(diǎn)R()
(3)求面積的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列與
滿足
.
(1)若,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2)若且數(shù)列
為公比不為1的等比數(shù)列,求q的值,使數(shù)列
也是等比數(shù)列;
(3)若且
,數(shù)列
有最大值M與最小值
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
,其中
為參數(shù),
.在以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,點(diǎn)
的極坐標(biāo)為
,直線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線
的普通方程;
(2)若是曲線
上的動(dòng)點(diǎn),
為線段
的中點(diǎn).求點(diǎn)
到直線
的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是公差為
的等差數(shù)列,
是公比為
的等比數(shù)列.
(1)若,是否存在
,有
?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若(
、
為常數(shù),且
)對(duì)任意
,有
,試求出
、
滿足的充要條件;
(3)若,
,試確定所有
,使數(shù)列
中存在某個(gè)連續(xù)
項(xiàng)的和是數(shù)列
中的一項(xiàng),請(qǐng)證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐P—ABCD中,PAB為正三角形,四邊形ABCD為炬形,平面PAB⊥平面ABCD.AB=2AD,M,N分別為PB,PC中點(diǎn).
(1)求證:MN//平面PAD;
(2)求二面角B—AM—C的大。
(3)在BC上是否存在點(diǎn)E,使得EN⊥平面AMV?若存在,求的值:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某國(guó)際性會(huì)議紀(jì)念章的一特許專(zhuān)營(yíng)店銷(xiāo)售紀(jì)念章,每枚進(jìn)價(jià)為5元,同時(shí)每銷(xiāo)售一枚這種紀(jì)念章還需向該會(huì)議的組織委員會(huì)交特許經(jīng)營(yíng)管理費(fèi)2元,預(yù)計(jì)這種紀(jì)念章以每枚20元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí),該店一年可銷(xiāo)售2000枚,經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),每枚紀(jì)念章的銷(xiāo)售價(jià)格在每枚20元的基礎(chǔ)上,每減少一元?jiǎng)t增加銷(xiāo)售400枚,而每增加一元?jiǎng)t減少銷(xiāo)售100枚,現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷(xiāo)售價(jià)格為元(每枚的銷(xiāo)售價(jià)格應(yīng)為正整數(shù)).
(1)寫(xiě)出該特許專(zhuān)營(yíng)店一年內(nèi)銷(xiāo)售這種紀(jì)念章所獲得的利潤(rùn)(元)與每枚紀(jì)念章的銷(xiāo)售價(jià)格
的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)每枚紀(jì)念章銷(xiāo)售價(jià)格為多少元時(shí),該特許專(zhuān)營(yíng)店一年內(nèi)利潤(rùn)
(元)最大,并求出這個(gè)最大值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),求不等式
的解集;
(2)若不等式的解集為空集,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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