【題目】如圖四棱錐中,
平面
,
,
,
,
為線段
上一點(diǎn),
,
為
的中點(diǎn).
(1)證明平面
;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)取中點(diǎn)
,連接
,
,由三角形的中位線定理可得
,結(jié)合已知條件說明四邊形
為平行四邊形,可得
,由線面平行的判定定理可得結(jié)果;
(2)取的中點(diǎn)
,連接
,由
得
,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面
的法向量
,求出
即可得結(jié)果.
(1)證明:如圖,取中點(diǎn)
,連接
,
,
∵為
的中點(diǎn),∴
,且
,
又,且
,
∴,且
,
∴四邊形為平行四邊形,則
,
∵平面
,
平面
,
∴平面
.
(2)取的中點(diǎn)
,連接
,由
得
,
且,
以為原點(diǎn),
的方向?yàn)?/span>
軸的正方向,
的方向?yàn)?/span>
軸的正方向,
的方向?yàn)?/span>
軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
由題意知:,
,
,
,
,
,
,
設(shè)為平面
的法向量,則
,
即,可取
,
于是,
∴直線與平面
所成角的正弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若,求
的最大值;
(2)如果函數(shù)在公共定義域D上,滿足
,那么就稱
為
的“伴隨函數(shù)”.已知函數(shù)
,
.若在區(qū)間
上,函數(shù)
是
的“伴隨函數(shù)”,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)若,正實(shí)數(shù)
滿足
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】交強(qiáng)險是車主必須為機(jī)動車購買的險種,若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元,在下一年續(xù)保時,實(shí)行的是費(fèi)率浮動機(jī)制,保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費(fèi)率也就越高,具體浮動情況如下表:
交強(qiáng)險浮動因素和浮動費(fèi)率比率表 | ||
浮動因素 | 浮動比率 | |
上一年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮 | |
上三年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個年度發(fā)生有責(zé)任交通死亡事故 | 上浮30% | |
某機(jī)構(gòu)為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況,統(tǒng)計得到了下面的表格:
類型 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
數(shù)量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問題:
(1)按照我國《機(jī)動車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險條例》汽車交強(qiáng)險價格的規(guī)定,,記
為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費(fèi)用,求
的分布列與數(shù)學(xué)期望;(數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字)
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強(qiáng)險保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車,假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000元:
①若該銷售商購進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
②若該銷售商一次購進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求他獲得利潤的期望值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)三角形的邊長為不相等的整數(shù),且最大邊長為n,這些三角形的個數(shù)為an.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)在1,2,…,100中任取三個不同的整數(shù),求它們可以是一個三角形的三條邊長的概率.
附:1+22+32+…+n2;1+23+33+…+n3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知斜率為的直線
與橢圓
交于
,
兩點(diǎn),線段
的中點(diǎn)為
.
(1)證明:;
(2)設(shè)為
的右焦點(diǎn),
為
上一點(diǎn),且
.證明:
,
,
成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù),將曲線
經(jīng)過伸縮變換
后得到曲線
.在以原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)說明曲線是哪一種曲線,并將曲線
的方程化為極坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)是曲線
上的任意一點(diǎn),又直線
上有兩點(diǎn)
和
,且
,又點(diǎn)
的極角為
,點(diǎn)
的極角為銳角.求:
①點(diǎn)的極角;
②面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓C的中心在原點(diǎn),左焦點(diǎn),長軸為
.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過左焦點(diǎn)的直線交曲線C于A,B兩點(diǎn),過右焦點(diǎn)
的直線交曲線C于C,D兩點(diǎn),凸四邊形ABCD為菱形,求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),g(x)=x2﹣1.
(1)求f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程.
(2)若h(x)=f(x)+g(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2(x1<x2),求證:x1f(x1)>x2f(x2).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若,求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
(Ⅱ)若在
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)若數(shù)列的前
項(xiàng)和
,
,求證:數(shù)列
的前
項(xiàng)和
.
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