Question

已知數列滿足．

（1）證明數列為等比數列，并求出數列的通項公式；

（2）若數列滿足．證明：數列是等差數列．

（3）證明：．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）證明數列為等比數列，就是證明為一個常數. 因為,所以，所以,是以2為首項,2為公比的等比數列. 則,即,；（2）證明數列是等差數列，就是要證明為一個常數．首先化簡等式，即，所以，這實質是，因此作差消去得：，再作差消去常數得：，，即；（3）證明數列不等式，一般有兩個思路，一是求和，二是放縮.本題由于通項不適宜求和，所以嘗試放縮，即利用變量分離進行放縮，由，得.

試題解析：（1）因為,所以,且,

所以,是以2為首項,2為公比的等比數列. 2分

則,即,. 3分

（2）因為所以. 4分

所以 ①

② 6分

②-①,得

即 ③

④ 8分

④-③,得,

即

得, 10分

所以數列為等差數列.

(3）因為, 11分

所以. 12分

考點：用定義證明等差數列、等比數列，放縮法證明數列不等式