Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點A在拋物線C上，設(shè)以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交準(zhǔn)線l于M，N兩點．
（1）若∠MFN=90°，且△AMN的面積為4

2

，求p的值；
（2）若A，F(xiàn)，M三點共線于直線m，設(shè)直線m與拋物線C的另一個交點為B，記A和B兩點間的距離為f（p），求f（p）關(guān)于p的表達式．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的定義,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：數(shù)形結(jié)合法,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：第（1）問利用定義結(jié)合圖象易知，三角形是以焦點F為直角頂點的等腰直角三角形，利用三角形AMN的面積求出p的值；
第（2）問利用拋物線的定義和性質(zhì)容易判斷直線AM的傾斜角為60°，給出直線AM的方程代入拋物線方程消元得到關(guān)于x的一元二次方程，再利用韋達定理、拋物線的焦點弦長公式求出線段AB的長．

解答： 解：（1）由對稱性可知，△MFN為等腰直角三角形，則斜邊MN=2p，
且點A到準(zhǔn)線l的距離d=FA=FM=

2

p．S△AMN=

1

2

MN•d=

1

2

•2p•

2

p=4

2

，即p=2．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過A作AK⊥l于點K，由已知得|AF|=|AK|=|FN|=|FM|，
所以在直角△AMN中，∠AMK=30°，所以∠AFx=60°，
所以直線m的方程為y=

3

(x-

p

2

)，代入y²=2px（p＞0）整理后得3x2-5px+

3

4

p2=0，所以x1+x2=

5

3

p，
所以|AB|=|FA|+|FB|=x1+

p

2

+x2+

p

2

=x1+x2+p=

5

3

p+p=

8

3

p，
即f（p）=

8

3

p．

第（2）問另解：
由對稱性可設(shè)A(

y02

2p

，y0) (y0＞0)，F(

p

2

，0)．
由點A，M關(guān)于點F對稱，得M(p-

y02

2p

，-y0)，
所以p-

y02

2p

=-

p

2

，解得y0=

3

p，即A(

3p

2

，

3

p)．
直線m的方程為y=

3

(x-

p

2

)，與拋物線方程聯(lián)列

y2=2px y= 3 (x- p 2 )

得y2-

2 3

3

py-p2=0，解得y1=

3

p，y2=-

3

3

p．
所以B(

p

6

，-

3

3

p)．
這樣f(p)=AB=

( 3p 2 - p 6 )2+( 3 p+ 3 3 p)2

=

8

3

p．

點評：關(guān)于拋物線的焦點弦問題，一般要利用拋物線的定義和性質(zhì)，將拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化，以期達到解決問題的目的；再就是有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般是聯(lián)立直線、拋物線的方程組成方程組，消元后得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，然后利用韋達定理結(jié)合相關(guān)條件把所求的問題合理表達，再進一步解決問題．