Question

20．若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在不同兩點(diǎn)M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)[M，N]是函數(shù)y=f（x）的一對(duì)“和諧點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)[M，N]與[N，M]看作同一對(duì)“和諧點(diǎn)對(duì)”）．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，x≤0}\\{|lnx|，x＞0}\end{array}\right.$則此函數(shù)的“和諧點(diǎn)對(duì)”有（　�。�

• A． 0對(duì)
• B． 1對(duì)
• C． 2對(duì)
• D． 4對(duì)

Answer 1

分析 令f（x）+f（-x）=0，根據(jù)圖象判斷方程的根的個(gè)數(shù)，得出結(jié)論．

解答 解：若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，x≤0}\\{-lnx，0＜x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，
令f（x）+f（-x）=0，
若0＜x＜1，則-lnx-x³+3x=0，即lnx=-x³+3x，
作出y=lnx與y=-x³+3x的函數(shù)圖象，

由圖象可知兩函數(shù)在（0，1）上無(wú)交點(diǎn)，
若x≥1，則lnx-x³+3x=0，即lnx=x³-3x，
作出y=lnx與y=x³-3x的函數(shù)圖象，

由圖象可知兩函數(shù)在（1，+∞）上有1個(gè)交點(diǎn)，
所以，f（x）只有1對(duì)“和諧點(diǎn)對(duì)”．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程根與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．