Question

橢圓C過兩個點A（

5

2

，2

3

），B（

5 2

2

，2

2

）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點M（2，1）作直線l，交橢圓C于P、Q兩點，且M為P、Q的中點，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），把A，B的坐標(biāo)代入即可得出；
（2）若l的斜率不存在，此時PQ的中點不為M，應(yīng)舍去．設(shè)l的斜率為k，可得l的方程y=k（x-2）+1，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)，再利用中點坐標(biāo)公式可得k即可．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），
則由題意可得

25 4 m+12n=1 25 2 m+8n=1

，
解得

m= 1 25 n= 1 16

，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

25

+

y2

16

=1；
（2）若l的斜率不存在，則直線l的方程為：x=2．
此時PQ的中點不為M，顯然不合題意，∴l(xiāng)的斜率存在，設(shè)其為k，
則l：y=k（x-2）+1，
由

y=k(x-2)+1 x2 25 + y2 16 =1

則有（25k²+16）x²+50k（1-2k）x+25（1-2k）²-400=0，
由韋達定理，x1+x2=

50k(2k-1)

25k2+16

   又x₁+x₂=4，
∴

50k(2k-1)

25k2+16

=4，
∴k=-

32

25

，
此時方程（*）△＞0，
∴l(xiāng)方程為y=-

32

25

(x-2)+1即32x+25y-89=0．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)、中點坐標(biāo)公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．