Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，并且滿足a₁＝2，na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)．

(1) 求{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2) 令T_n＝S_n，是否存在正整數(shù)m，對一切正整數(shù)n，總有T_n≤T_m？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1) 令n＝1，

由a₁＝2及na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)，①

得a₂＝4，故a₂－a₁＝2，

當(dāng)n≥2時(shí)，有(n－1)a_n＝S_n－1＋n(n－1)，②

①－②，得

na_n＋1－(n－1)a_n＝a_n＋2n.

整理得a_n＋1－a_n＝2(n≥2)．

當(dāng)n＝1時(shí)，a₂－a₁＝2，所以數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

故a_n＝2＋(n－1)×2＝2n.

(2) 由(1)得S_n＝n(n＋1)，所以T_n＝ (n²＋n)．

解得8≤n≤9.

故T₁<T₂<…<T₈＝T₉>T₁₀>T₁₁>…

故存在正整數(shù)m對一切正整數(shù)n，總有T_n≤T_m，

此時(shí)m＝8或m＝9.