Question

【題目】已知拋物線（）經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，直線交軸于，直線交軸于.

(1)若直線過點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；

(2)若直線過點(diǎn)，設(shè)，，，求的值；

(3)若直線過拋物線的焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，，求的值.

Answer 1

【答案】(1)且且；(2)；(3).

【解析】

(1)由題意易得直線斜率存在且不為，且直線、斜率存在，設(shè)出直線方程，并聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)交點(diǎn)有兩個(gè)，得出，解不等式即可得直線斜率的范圍.

(2)根據(jù)，，得出、與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再根據(jù)在同一直線上，在同一直線上，得出,與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)（1）中聯(lián)立所得的方程得出點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，對原式進(jìn)行化簡，即可得的值.

(3) 設(shè)直線的方程為：聯(lián)立直線與拋物線的方程得出點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由，，得出、與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，對化簡可求得的值.

（1）因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，所以拋物線的解析式為。

又因?yàn)橹本�過點(diǎn)，且直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，易知直線斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程式為.

根據(jù)題意可知直線不能過點(diǎn)，所以直線的斜率.

若直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，此時(shí)該點(diǎn)與點(diǎn)所在的直線斜率不存在，則該直線與軸無交點(diǎn)，與題目條件矛盾，

此時(shí)，所以直線斜率.

聯(lián)立方程,得，

因?yàn)橹本�與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，所以。

故直線的斜率的取值范圍是且且.

（2）設(shè)點(diǎn)，，則，，

因?yàn)?/span>，所以，故，由得，

設(shè)，，直線的方程為，

令，得①，由直線可得②，

因?yàn)?/span>③，將①②代入③可得，

，

又由根與系數(shù)的關(guān)系：，，

所以，

所以.

（3）設(shè)直線的方程為：由，得，設(shè)，，

則，∵，，，，

∴，，∴，

.