Question

已知f（x）=x³-ax²-4x（a為常數(shù)），若函數(shù)f（x）在x=2處取得一個極值，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若經(jīng)過點A（2，c），（c≠-8）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（2）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算對函數(shù)進行求導(dǎo)，再由切線斜率的值等于該點導(dǎo)函數(shù)的值，設(shè)切點是（x，x³-2x²-4x），寫出切線方程，把點A（2，c）代入切線方程得到2x³-8x²+8x+8+c=0有三個不同的實根，最后結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）=2x³-8x²+8x+8+c，的單調(diào)性鄧可求得實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）f'（x）=3x²-2ax-4∴f'（2）=12-4a-4=0∴a=2∴f'（x）=3x²-4x-4由f'（x）＞0得x＞2或x＜-∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-），（2，+∞），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-，2）
（2）f（x）=x³-2x²-4x
設(shè)切點是（x，x³-2x²-4x），則f'（x）=3x²-4x-4∴切線方程為y-（x³-2x²-4x）=（3x²-4x-4）（x-x）
把點A（2，c）代入上式得2x³-8x²+8x+8+c=0∵過點A可作y=f（x）的三條切線∴2x³-8x²+8x+8+c=0有三個不同的實根
設(shè)g（x）=2x³-8x²+8x+8+c，則g'（x）=6x²-16x+8，令g'（x）=0得x=或x=2
∴g（x）在（-∞，，2）上單調(diào)遞減
由題意 ，解得-＜c＜-8
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．