Question

如圖，橢圓的中心在坐標原點O，頂點分別為A₁，A₂，B₁，B₂，焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，延長B₁F₂與A₂B₂交于P點，若∠B₁PB₂為銳角，則此橢圓離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c，則

B2A2

=（a，-b）、

F2B1

=（-c，-b），由∠B₁PB₂為銳角可得-ac+b²＜0，把b²=a²-c²代入不等式，從而可求橢圓離心率的取值范圍．

解答： 解：由題意，設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c，則

B2A2

=（a，-b）、

F2B1

=（-c，-b），
由∠B₁PB₂為銳角知道

B2A2

與

F2B1

的數(shù)量積小于0，所以有：-ac+b²＜0，
把b²=a²-c²代入不等式得：a²-ac-c²＜0，除以a²得1-e-e²＜0，
即e²+e-1＞0，解得e＜

-1- 5

2

或e＞

5 -1

2

，
又0＜e＜1，所以

5 -1

2

＜e＜1，
故答案為：

5 -1

2

＜e＜1．

點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關鍵是利用

B2A2

與

F2B1

的數(shù)量積小于0，建立不等式，屬于中檔題．