Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）．
（1）求數(shù)列{a_n}前三項之和S₃的值；
（2）證明：數(shù)列{a_n+a_n-1}（n≥2）是等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)遞推式先求得a₃，把前三項相加即可求得前三項之和S₃的值．
（2）把已知等式兩端同時加上a_n-1，整理可得

an+an-1

an-1+an-2

=3，根據(jù)等比數(shù)列的定義推斷出數(shù)列{a_n+a_n-1}（n≥2）是等比數(shù)列．
（3）根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得數(shù)列{a_n+a_n-1}的通項公式，利用拆項累和求得a_n，最后把n=1驗證，綜合可得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）∵a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2，
∴a₃=2a₂-3a₁=19，
S3=a₁+a₂+a₃=26．
（2）∵a_n=2a_n-1+3a_n-2，等號兩端同時加上a_n-1，整理得a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），
∴

an+an-1

an-1+an-2

=3，
∴數(shù)列{a_n+a_n-1}（n≥2）是等比數(shù)列．
（3）由（2）知，數(shù)列{a_n+a_n-1}的通項為：a_n+a_n-1=7×3^n-2，n≥2，
拆項累和得：
（-1）ⁿa_n=[（-1）ⁿa_n-（-1）^n-1a_n-1]+[（-1）^n-1a_n-1-（-1）^n-2a_n-2]+…+[（-1）²a₂-（-1）a₁]+（-1）a₁，
=7•[（-3）^n-2+（-3）^n-3+…+（-3）⁰-5
=

7•[1-(-3)n-1]

1+3

-5
=-

7

4

•（-3）^n-1-

13

4

，
∴a_n=

7

4

•（-3）^n-1-

13

4

（-1）ⁿ，n≥2，
經(jīng)驗證知，上式對n=1也成立，
故數(shù)列的通項公式為：a_n=

7

4

•（-3）^n-1-

13

4

（-1）ⁿ，n∈N^*．

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式和求和公式的應(yīng)用．考查了學(xué)生推理和運算的能力．