Question

已知等比數(shù)列{a_n}的所有項均為正數(shù)，首項a₁＝1，且a_4,3a₃，a₅成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(2)數(shù)列{a_n＋1－λa_n}的前n項和為S_n，若S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

解：(1)設數(shù)列{a_n}的公比為q，

由條件可知q^3,3q²，q⁴成等差數(shù)列，

∴6q²＝q³＋q⁴，解得q＝－3或q＝2，

∵q>0，∴q＝2.∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n＝2^n－1(n∈N^*)．

(2)記b_n＝a_n＋1－λa_n，

則b_n＝2ⁿ－λ·2^n－1＝(2－λ)2^n－1，

若λ＝2，則b_n＝0，S_n＝0，不符合條件；

若λ≠2，則＝2，數(shù)列{b_n}為首項為2－λ，公比為2的等比數(shù)列，

此時S_n＝(1－2ⁿ)＝(2－λ)(2ⁿ－1)，

∵S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，∴λ＝1.