Question

設拋物線y²=4x有內接△OAB,其垂心恰為拋物線的焦點,求這個三角形的周長.

Answer 1

思路分析：因為拋物線的焦點恰為三角形的垂心,則拋物線的對稱軸即x軸與AB垂直,且A、B關于x軸對稱,所以△OAB為等腰三角形.

解：拋物線y²=4x的焦點為F(1,0),F為△OAB的垂心,所以x軸⊥AB,A、B關于x軸對稱.設A(4t²,4t)(t＞0),則B(4t²,-4t),所以k_AF=,k_OB=.因為AF⊥OB,所以k_AF·k_OB=·()=-1.所以t²=.由于t＞0,得t=,所以A(5,).所以｜AB｜=,｜OA｜=｜OB｜=,

這個三角形的周長為.