Question

設(shè)拋物線y²=4x有內(nèi)接三角形OAB，其垂心恰為拋物線的焦點，求這個三角形的周長.

Answer 1

解析：因為拋物線的焦點恰為三角形的垂心,則拋物線的對稱軸即x軸與AB垂直,且A、B關(guān)于x軸對稱,所以△OAB為等腰三角形.

解：拋物線y²=4x的焦點為F(1,0),F為△OAB的垂心,

所以x軸⊥AB,A、B關(guān)于x軸對稱.

設(shè)A(4t²,4t)(t＞0),則B(4t²,-4t),

所以k_AF=,k_OB=-=-.

因為AF⊥OB,所以k_AF·k_OB=·(-)=-1.

所以t²=.由t＞0,得t=

所以A(5,2).所以|AB|=4,|OA|=|OB|=3,

這個三角形的周長為10.