Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²-

1

4

，n∈N^*．
（Ⅰ）證明：{a_2n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

Sn

}前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)當n≥2時a_n=S_n-S_n-1，由2n≥2求出a_2n的式子，由式子的特點判斷出數(shù)列{a_2n}是等差數(shù)列；
（2）由題意求出

1

Sn

，利用裂項相消法求出前n項和T_n．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=1-

1

4

，a₁=

3

4

，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²-

1

4

）-[（n+1）²-

1

4

]=-2n-1，
又2n≥2，所以a_2n=-4n-1，
所以數(shù)列{a_2n}是以-5為首項，公差為-4的等差數(shù)列；
（2）由S_n=n²-

1

4

得，

1

Sn

=

1

n2- 1 4

=

1

(n+ 1 2 )(n- 1 2 )

=

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

，
所以T_n=（

1

1 2

-

1

3 2

）+（

1

3 2

-

1

5 2

）+…+（

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

）
=2-

1

n+ 1 2

=

4n

2n+1

．

點評：本題考查了a_n與S_n的關系式，等差數(shù)列的通項公式，裂項相消法求數(shù)列前n項和，屬于中檔題．