Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，設向量

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA）且

m

∥

n

，

m

≠

n

．
（1）求角C的大��；
（2）求sinA+sinB的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標，根據(jù)兩向量平行時坐標的特點列出關系式，整理后利用正弦定理化簡得到sin2A=sin2B，根據(jù)A和B的范圍，得到2A及2B的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到2A=2B或2A+2B=π，由

m

≠

n

，得到A不等于B，可得出A和B互余，進而得到C的度數(shù)；
（2）由A與B互余，用A表示出B，代入sinA+sinB中，利用誘導公式化簡后，提取

2

，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出正弦函數(shù)的值域，進而確定出所求式子的范圍．

解答：解：（1）∵向量

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA），且

m

∥

n

，
∴a：b=cosB：cosA，即acosA=bcosB，
根據(jù)正弦定理化簡得：2RsinAcosA=2RsinBcosB，即sin2A=sin2B，
∵0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，∴2A=2B或2A+2B=π，
又

m

≠

n

，故A≠B，∴A+B=

π

2

，
則C=

π

2

；
（2）∵A+B=

π

2

，
∴sinA+sinB=sinA+sin（

π

2

-A）=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），
又0＜A＜

π

2

，∴

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，
∴

2

2

＜sin（A+

π

4

）≤1，
∴1＜

2

sin（A+

π

4

）≤

2

，
則sinA+sinB的取值范圍是（1，

2

]．

點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運算，正弦定理，誘導公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．