Question

（2010•江西模擬）設(shè)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a_n＜a_n+1且前6項(xiàng)的平方和為70，立方和為0．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線(xiàn)ln的斜率為a_n，且與曲線(xiàn)y=x²相切，與y軸交于B_n，記b_n=|B_n+1B_n|，求b_n；
（3）對(duì)于（2）問(wèn)中數(shù)列{b_n}求證：|sinb1+sinb2+…+sinbn|＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）依題意有

a12+a22+a32+a42+a52+a62=70 a13+a23+a33+a43+a53+a63=0

，由于{a_n}為等差數(shù)列，得到：a₁+a₆=a₂+a₅=a₃+a₄化簡(jiǎn)得到：

a1+a6=2a1+5d=0 a12+a22+a32=3a12+6a1d2=35

解得首項(xiàng)和公差，從而得出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)l_n的方程為y=a_nx+m，將直線(xiàn)的方程代入圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切即可求得m=

an2

4

，從而求得求b_n解決問(wèn)題．
（3）先利用|sinb₁+sinb₂+…+sinb_n|=|

n

k=1

sinbnsin1|•

1

sin1

=

|- 1 2 n k=1 [cos(bk+1)-cos(bk-1)]|

2sin1

=

|cos(2n-5)-cos5|

2sin1

，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）依題意有

a12+a22+a32+a42+a52+a62=70 a13+a23+a33+a43+a53+a63=0

∵{a_n}為等差數(shù)列，∴a₁+a₆=a₂+a₅=a₃+a₄
若a₁+a₆＞0，則a₁³+a₆³=（a₁+a₆）（a₁²+a₁a₆+a₆²）＞0
∴a₁³+a₂³+…+a₆³＞0同理，若a₁+a₆＜0，則a₁³+a₂³+…+a₆³＜0
∴a₁+a₆=a₂+a₅=a₃+a₄=0⇒a₁²+a₂²+…+a₆²=2（a₁²+a₂²+a₃²）=70
設(shè){a_n}的公差為d，a_n＜a_n+1
∴d＞0

a1+a6=2a1+5d=0 a12+a22+a32=3a12+6a1d2=35

得

a1=-5 d=2

∴a_n=2n-7
（2）設(shè)l_n的方程為y=a_nx+m由

y=x2 y=anx+m

得x²-a_nx-m=0
∵直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切∴△=0⇒m=

an2

4

∴Bn(0，-

an2

4

)；bn=|Bn+1Bn|=-

an2

4

-(-

an+12

4

)=

(2n-5)2-(2n-7)2

4

=2n-6
（3）|sinb₁+sinb₂+…+sinb_n|=|

n

k=1

sinbnsin1|•

1

sin1

=

|- 1 2 n k=1 [cos(bk+1)-cos(bk-1)]|

2sin1

=

|cos(2n-5)-cos5|

2sin1

∵cos5＞0，
∴bn＜

1+cos5

2sin1

=

sin2( π-5 2 )

sin1

＜sin1＜

3

2

∴|sinb1+sinb2+…+sinbn|＜

3

2

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列與不等式的綜合、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．