Question

設(shè)是一個自然數(shù)，是的各位數(shù)字的平方和，定義數(shù)列：是自然數(shù)，（，）．

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）若，求證：；

（Ⅲ）當(dāng)時，求證：存在，使得．

Answer 1

  解：（Ⅰ）；

　　　　　．                  ………………5分

（Ⅱ）假設(shè)是一個位數(shù)（），

　　　　　那么可以設(shè)，

其中且（），且．

由可得，．

　　　　　所以．

因為，所以．

而，

所以，即．                     ………………9分

（Ⅲ）由，即，可知．

同理，可知．

由數(shù)學(xué)歸納法知，對任意，有．

即對任意，有．

因此，存在（），有．

則，，…，，

可得對任意，，有．

設(shè)，即對任意，有．

若，取，，則有．

若，由，可得，

取，，則有．            ………………14分