Question

已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[3a，a+1]上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由已知可得二次函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對稱，又由二次函數(shù)f（x）的最小值為1，故可設f（x）=a（x-1）²+1，求出a值可得f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[3a，a+1]上不單調(diào)，則3a＜1＜a+1，解得實數(shù)a的取值范圍；
（3）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，即2x²-4x+3＞2x+2m+1在區(qū)間[-1，1]上恒成立，進而將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題可得答案．

解答： 解：（1）∵f（0）=f（2），
故二次函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對稱，
又由二次函數(shù)f（x）的最小值為1，
故可設f（x）=a（x-1）²+1，
由f（0）=3，得a=2，
故f（x）=2x²-4x+3．…（5分）
（2）要使函數(shù)不單調(diào)，
則3a＜1＜a+1，則0＜a＜

1

3

，…（10分）
（3）若在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，
即2x²-4x+3＞2x+2m+1在區(qū)間[-1，1]上恒成立，
即x²-3x+1-m＞0在區(qū)間[-1，1]上恒成立，
設g（x）=x²-3x+1-m，則只要g（x）_min＞0，
而g（x）_min=g（1）=-1-m，
得m＜-1．…（15分）．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，單調(diào)性，對稱軸，恒成立問題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用，難度中檔．