Question

已知OPQ是半徑為1，圓心角為

π

4

的扇形，C是扇形弧上的動點．ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠COP=θ．
（1）求當角θ取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大值．
（2）當矩形ABCD的面積為

6 -2

4

時，求角θ的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,弧度制的應用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）在Rt△OBC中：OB=cosθ，BC=sinθ，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出OA，可得AB，可得矩形ABCD的面積S=AB•BC=（cosθ-sinθ）sinθ，再利用三角恒等變換化為

2

2

sin(2θ+

π

4

)-

1

2

，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得面積S的最大值．
（2）當S=

2

2

sin(2θ+

π

4

)-

1

2

=

6 -2

4

時，求得sin(2θ+

π

4

)=

3

2

，再結(jié)合θ的范圍，求出θ的值．

解答： 解：（1）在Rt△OBC中：OB=cosθ，BC=sinθ，
在Rt△OAD中：

AD

OA

=tan

π

4

=1，∴OA=AD=BC=sinθ，AB=OB-OA=cosθ-sinθ，
所以矩形ABCD的面積S=AB•BC=（cosθ-sinθ）sinθ
=cosθsinθ-sin²θ=

1

2

sin2θ-

1-cos2θ

2

=

1

2

(sin2θ+cos2θ)-

1

2

=

2

2

(

2

2

sin2θ+

2

2

cos2θ)-

1

2

=

2

2

sin(2θ+

π

4

)-

1

2

，
由0＜θ＜

π

4

，得

π

4

＜2θ+

π

4

＜

3π

4

，
所以當2θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

8

時，Smax=

2

2

-

1

2

．
（2）當S=

2

2

sin(2θ+

π

4

)-

1

2

=

6 -2

4

時，即sin(2θ+

π

4

)=

3

2

，
又因為

π

4

＜2θ+

π

4

＜

3π

4

，所以2θ+

π

4

=

2π

3

，即θ=

5π

24

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，直角三角形中的邊角關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．