Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2n²+n-1，數(shù)列{b_n}滿足b₁+3b₂+…+（2n-1）b_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
求：數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：利用遞推公式a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁求數(shù)列a_n的通項公式，利用同樣的方法求出數(shù)列b_n的通項，從而可得數(shù)列a_n，b_n分別是從第二項開始的等差（等比）數(shù)列，則對數(shù)列a_n•b_n求和應(yīng)用乘“公比”錯位相減
解答：解：當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，而a₁=2，
∴
當n≥2時，（2n-1）•b_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹-（2n-5）•2ⁿ=2ⁿ（2n-1）
∴b_n=2ⁿ，而b₁=-4，∴
∴T_n=-8+[2²×7+2³×11+…+2ⁿ（4n-1）]
記S=2²×7+2³×11+2⁴×15+…+2ⁿ（4n-1）①
∴2S=2³×7+2⁴×11+2⁵×15++2ⁿ（4n-5）+2ⁿ⁺¹（4n-1）②
①-②得：
∴-S=28+4（2³+2⁴++2ⁿ）-2ⁿ⁺¹（4n-1）
-S=28+32（2^n-1-1）-2ⁿ⁺¹（4n-1）=-4+2ⁿ⁺¹（5-4n）
∴S=4+2ⁿ⁺¹（4n-5）
T_n=2ⁿ⁺¹（4n-5）-4
點評：本題主要考查了利用遞推公式由“和”求“項”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，由等比數(shù)列與等差數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的求和，用乘“公比”錯位相減，其中的公比是指成等比數(shù)列的公比．