Question

已知橢圓C：的右焦點為F（1，0），且點（﹣1，）在橢圓C上．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知動直線l過點F，且與橢圓C交于A，B兩點，試問x軸上是否存在定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【解析】（1）由題意，c=1

∵點（﹣1，）在橢圓C上，∴根據(jù)橢圓的定義可得：2a=，∴a=

∴b²=a²﹣c²=1，

∴橢圓C的標準方程為；

（2）假設(shè)x軸上存在點Q（m，0），使得恒成立

當(dāng)直線l的斜率為0時，A（，0），B（﹣，0），則=﹣，∴，∴m=①

當(dāng)直線l的斜率不存在時，，，則•=﹣，∴

∴m=或m=②

由①②可得m=．

下面證明m=時，恒成立

當(dāng)直線l的斜率為0時，結(jié)論成立；

當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

直線方程代入橢圓方程，整理可得（t²+2）y²+2ty﹣1=0，∴y₁+y₂=﹣，y₁y₂=﹣

∴=（x₁﹣，y₁）•（x₂﹣，y₂）=（ty₁﹣）（ty₂﹣）+y₁y₂=（t²+1）y₁y₂﹣t（y₁+y₂）+=+=﹣

綜上，x軸上存在點Q（，0），使得恒成立.