【題目】如圖是一幅招貼畫的示意圖,其中ABCD是邊長為的正方形,周圍是四個全等的弓形.已知O為正方形的中心,G為AD的中點,點P在直線OG上,弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分,OG的延長線交弧AD于點H.設弧AD的長為
,
.
(1)求關于
的函數(shù)關系式;
(2)定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數(shù),當優(yōu)美系數(shù)最大時,招貼畫最優(yōu)美.證明:當角
滿足:
時,招貼畫最優(yōu)美.
【答案】(1),
;(2)證明見解析
【解析】
(1)分類時,點P在線段OG上,當
時,點P在線段GH上,當
時,
.求出半徑
后可得弦長;
(2)由(1)的分類討論求得.
,令
,用導數(shù)的知識求它的最大值即可得.
解:(1)當時,點P在線段OG上,
;
當時,點P在線段GH上,
;
當 時,
. 綜上所述,
,
.
所以,弧AD的長,故所求函數(shù)關系式為
,
.
(2)當時,
;
當時,
;
當 時,
.所以,
,
.
從而,.
記,
. 則
.
令,得
. 因為
,所以
,
從而, 顯然
,所以
.
記滿足的
,下面證明
是函數(shù)
的極值點.
設,
.則
在
上恒成立, 從而
在
上單調(diào)遞減,所以,當
時,
,即
,
在
上單調(diào)遞增;當
時,
,即
,
在
上單調(diào)遞減.
故 在
處取得極大值,也是最大值.
所以,當滿足
時,函數(shù)
即
取得最大值,此時招貼畫最優(yōu)美.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且2a1+3a2=1, =9a2a6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列的前n項和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(1)分別寫出直線的普通方程與曲線
的直角坐標方程;
(2)已知點,直線
與曲線
相交于
兩點,求證:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具,現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁,其縱截面如圖2所示,一根長度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于
位置(圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小,
).
(1)請用角表示清潔棒的長
;
(2)若想讓清潔棒通過該彎頭,清潔下一段圓管,求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是直角梯形且
∥
,側(cè)面
為等邊三角形,且平面
平面
.
(1)求平面與平面
所成的銳二面角的大��;
(2)若,且直線
與平面
所成角為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在①,②
,③
這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并解答.
已知等差數(shù)列的公差為
,等差數(shù)列
的公差為
.設
分別是數(shù)列
的前
項和,且
, ,
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設,求數(shù)列
的前
項和
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,.
(1)求數(shù)列{an}的通項an;
(2)設bn=an3n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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