【題目】設(shè),函數(shù)
.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),若
有兩個(gè)相異零點(diǎn)
,
,且
,求證:
.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),
的單調(diào)遞增區(qū)間是
,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)
時(shí),
的單調(diào)遞減區(qū)間是
,單調(diào)遞增區(qū)間是
;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)求導(dǎo),分,
兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)正負(fù),即得解;
(2)由,構(gòu)造
,結(jié)論
,可轉(zhuǎn)化為
,構(gòu)造函數(shù)
,分析單調(diào)性研究單調(diào)性,即可證.
(1),
,
當(dāng)時(shí),
,函數(shù)
在區(qū)間
上是增函數(shù);
當(dāng)時(shí),令
,解得
,則函數(shù)
在區(qū)間
上是減函數(shù),在區(qū)間
上是增函數(shù).
綜上得:當(dāng)時(shí),函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間是
,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;
當(dāng)時(shí),函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間是
,單調(diào)遞增區(qū)間是
.
(2)由題意得,.
因?yàn)?/span>,
是方程
的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,所以
,兩式相減得
,解得
.
要證:,即證:
,即證:
,
即證:,
令(因?yàn)?/span>
),則只需證
.
設(shè),∴
;
令,∴
,
在
上為減函數(shù),
∴,∴
,
在
為增函數(shù),
.
即在
上恒成立,∴
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】心理學(xué)研究表明,人極易受情緒的影響,某選手參加7局4勝制的兵乒球比賽.
(1)在不受情緒的影響下,該選手每局獲勝的概率為;但實(shí)際上,如果前一句獲勝的話,此選手該局獲勝的概率可提升到
;而如果前一局失利的話,此選手該局獲勝的概率則降為
,求該選手在前3局獲勝局?jǐn)?shù)
的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)假設(shè)選手的三局比賽結(jié)果互不影響,且三局比賽獲勝的概率為,記
為銳角
的內(nèi)角,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線的斜率為
,縱截距為
.
(1)求點(diǎn)(2,4)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求與直線平行且距離為
的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(a為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求C的普通方程和l的傾斜角;
(2)設(shè)點(diǎn),l和C交于A,B兩點(diǎn),求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃,需了解年研發(fā)資金投入量(單位:億元)對(duì)年銷售額
(單位:億元)的影響.該公司對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析,建立了兩個(gè)函數(shù)模型:①
,②
,其中
均為常數(shù),
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額
的數(shù)據(jù),
,并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理,得到了右側(cè)的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.令
,經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù):
(1)設(shè)和
的相關(guān)系數(shù)為
,
和
的相關(guān)系數(shù)為
,請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度,選擇一個(gè)擬合程度更好的模型;
(2)(i)根據(jù)(1的選擇及表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于
的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(ii)若下一年銷售額需達(dá)到90億元,預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量
是多少億元?
附:①相關(guān)系數(shù),回歸直線
中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:
,
;
② 參考數(shù)據(jù):,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐,
是等邊三角形,
,
,
,
,
是
的中點(diǎn).
(1)求證:直線平面
;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,
平面
,
,點(diǎn)
是棱
的中點(diǎn),
,點(diǎn)
是棱
上一點(diǎn),且
.
(1)證明:平面
;
(2)若,
,點(diǎn)
在棱
上,且
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),曲線
的方程為
.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
交
于
,
兩點(diǎn)(
在
軸上方),
交極軸于點(diǎn)
(異于極點(diǎn)
).
(1)求的直角坐標(biāo)方程和
的直角坐標(biāo);
(2)若為
的中點(diǎn),
為
上的點(diǎn),求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,E是AB的中點(diǎn),F是BC的中點(diǎn)
(1)求證:EF∥平面A1DC1;
(2)若長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,夾在平面A1DC1與平面B1EF之間的幾何體的體積為,求點(diǎn)D到平面B1EF的距離.
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