Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為

2

2

．過點M（2，0）的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求

OA

•

OB

的取值范圍；
（Ⅲ）若B點關(guān)于x軸的對稱點是N，證明：直線AN恒過一定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為

2

2

，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)l：y=k（x-2），與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y，利用韋達定理，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求

OA

•

OB

的取值范圍；
（Ⅲ）由對稱性可知N（x₂，-y₂），定點在x軸上．直線AN：y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)，令y=0，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：由題意b=1，e=

c

a

=

2

2

得a²=2c²=2a²-2b²，故a²=2．
故方程為

x2

2

+y2=1．（3分）
（Ⅱ）解：設(shè)l：y=k（x-2），與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
由△＞0得0≤k2＜

1

2

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

．
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2
=

10k2-2

1+2k2

=5-

7

1+2k2

．
∵0≤k2＜

1

2

，∴

7

2

＜

7

1+2k2

≤7，
故所求范圍是[-2，

3

2

)．（8分）
（Ⅲ）證明：由對稱性可知N（x₂，-y₂），定點在x軸上．
直線AN：y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)，令y=0得：x=x1-

y1(x1-x2)

y1+y2

=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

2x1x2-2(x1+x2)

x1+x2-4

=

16k2-4 1+2k2 - 16k2 1+2k2

8k2 1+2k2 -4

=1，
∴直線l過定點（1，0）．（13分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，考查韋達定理，考查學(xué)生的計算能力，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．