Question

設F為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，R，S，T為該拋物線上三點，若

FR

+

FS

+

FT

=

0

，且|

FR

|+|

FS

|+|

ST

|=6．
（Ⅰ）求拋物線y²=2px的方程；
（Ⅱ）M點的坐標為（m，0）其中m＞0，過點F作斜率為k₁的直線與拋物線交于A，B兩點，A，B兩點的橫坐標均不為m，連接AM、BM并延長交拋物線于C、D兩點，設直線CD的斜率為k₂．

k1

k2

=4，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用

FR

+

FS

+

FT

=

0

，且|

FR

|+|

FS

|+|

ST

|=6，結合雪亮知識及拋物線的定義，即可求拋物線y²=2px的方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），利用

k1

k2

=4，可得y₁+y₂=

1

4

（y₃+y₄）．設AC所在直線方程為x=ty+m，代入拋物線方程，求出y₁y₃=-4m，同理y₂y₄=-4m，進而可得y₁y₂=-m，設AB所在直線方程為x=ty+1，代入拋物線方程，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）設R（x_R，y_R），S（x_S，y_S），T（x_T，y_T），則
∵

FR

+

FS

+

FT

=

0

，
∴x_R+x_S+x_T=

3

2

p，
∴|

FR

|+|

FS

|+|

ST

|=x_R+x_S+x_T+

3

2

p=3p=6，
∴p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則
k₁=

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

，k₂=

4

y3+y4

，
∵

k1

k2

=4，
∴y₁+y₂=

1

4

（y₃+y₄）．
設AC所在直線方程為x=ty+m，代入拋物線方程，可得y²-4ty-4m=0，
∴y₁y₃=-4m，
同理y₂y₄=-4m，
∴y₁+y₂=

1

4

（

-4m

y1

+

-4m

y2

），
∴y₁y₂=-m，
設AB所在直線方程為x=ty+1，代入拋物線方程，可得y²-4ty-4=0，
∴y₁y₂=-4，
∴m=4．

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，考查學生分析解決問題的能力，正確運用韋達定理是關鍵．