(本小題滿分14分)已知直線上有一個動點
,過點
作直線
垂直于
軸,動點
在
上,且滿足
(
為坐標原點),記點
的軌跡為
.
(1)求曲線的方程;
(2)若直線是曲線
的一條切線,當點
到直線
的距離最短時,求直線
的方程.
(1);(2)
或
.
【解析】
試題分析:本題主要考查拋物線的標準方程、點到直線的距離公式、向量的數(shù)量積、均值定理等基礎知識,考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力. 第一問,設出P、Q點坐標,由題意知,,利用兩直線的斜率相乘為-1,得到曲線C的方程;第二問,設出直線
的方程,與曲線C的方程聯(lián)立,由于直線
是曲線
的一條切線,所以
,解出
,再利用點到直線的距離公式求出點
到直線
的距離d,利用均值定理求出d的最小值,并求出等號成立的條件,即k的值,從而得到直線
的方程.
試題解析:(1)設點的坐標為
,則點
的坐標為
.
∵,
∴. (或者用向量:
,且
得出)
當時,得
,化簡得
. 2分
當時,
、
、
三點共線,不符合題意,故
.
∴曲線的方程為
. 4分
(2)解法1:∵ 直線與曲線
相切,
∴直線的斜率存在.
設直線的方程為
, 5分
由 得
.
∵ 直線與曲線
相切, 則
,即
.
∴ 直線的方程為
6分
∴ 點到直線
的距離
7分
8分
9分
. 10分
當且僅當,即
時,等號成立.此時
. 12分
∴直線的方程為
或
. 14分
解法2:由,得
, 5分
∵直線與曲線
相切, 設切點
的坐標為
,其中
,
則直線的方程為:
,化簡得
. 6分
點到直線
的距離
7分
8分
9分
. 10分
當且僅當,即
時,等號成立. 12分
∴直線的方程為
或
. 14分
解法3:由,得
, 5分
∵直線與曲線
相切, 設切點
的坐標為
,其中
,
則直線的方程為:
,化簡得
. 6分
點到直線
的距離
7分
8分
9分
. 10分
當且僅當,即
時,等號成立,此時
. 12分
∴直線的方程為
或
. 14分
考點:拋物線的標準方程、點到直線的距離公式、向量的數(shù)量積、均值定理.
科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年山西省高三第四次診斷考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
為得到函數(shù)的圖象,可將函數(shù)
的圖象向左平移
個單位長度,或向右平移
個單位長度(
,
均為正數(shù)),則
的最小值是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年江蘇省連云港、徐州、淮安、宿遷四市高三一?荚囄目茢(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
設復數(shù)z滿足 (i是虛數(shù)單位),則z的虛部為_______.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年江蘇省連云港、徐州、淮安、宿遷四市高三一?荚嚴砜茢(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
將函數(shù) 的圖象分別向左、向右各平移
個單位長度后,所得的兩個圖象對稱軸重合,則
的最小值為______.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年江蘇省連云港、徐州、淮安、宿遷四市高三一?荚嚴砜茢(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
某用人單位從甲、乙、丙、丁4名應聘者中招聘2人,若每名應聘者被錄用的機會均等,則甲、乙2人中至少有1入被錄用的概率為 _______.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年廣東省惠州市高三第三次調(diào)研文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
(幾何證明選做題)如圖,已知內(nèi)接于圓
,點
在
的延長線上,
切圓
于
,若
,
,則
的長為____________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年廣東省惠州市高三第三次調(diào)研文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
設變量滿足約束條件
,則
的最大值為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年廣東省惠州市高三第三次調(diào)研理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知,使不等式
恒成立,則實數(shù)
的取值范圍是__________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年北京市西城區(qū)高三上學期期末考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
在右側的表格中,各數(shù)均為正數(shù),且每行中的各數(shù)從左到右成等差數(shù)列,每列中的各數(shù)從上到下成等比數(shù)列,那么______.
3 | ||
a | ||
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