(本小題滿分14分)已知直線上有一個動點,過點作直線垂直于軸,動點上,且滿足為坐標原點),記點的軌跡為

(1)求曲線的方程;

(2)若直線是曲線的一條切線,當點到直線的距離最短時,求直線的方程.

(1);(2).

【解析】

試題分析:本題主要考查拋物線的標準方程、點到直線的距離公式、向量的數(shù)量積、均值定理等基礎知識,考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力. 第一問,設出P、Q點坐標,由題意知,,利用兩直線的斜率相乘為-1,得到曲線C的方程;第二問,設出直線的方程,與曲線C的方程聯(lián)立,由于直線是曲線的一條切線,所以,解出,再利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離d,利用均值定理求出d的最小值,并求出等號成立的條件,即k的值,從而得到直線的方程.

試題解析:(1)設點的坐標為,則點的坐標為.

,

. (或者用向量:,且得出)

時,得,化簡得. 2分

時, 、、三點共線,不符合題意,故.

∴曲線的方程為. 4分

(2)解法1:∵ 直線與曲線相切,

∴直線的斜率存在.

設直線的方程為, 5分

.

∵ 直線與曲線相切, 則 ,即.

∴ 直線的方程為 6分

∴ 點到直線的距離 7分

8分

9分

. 10分

當且僅當,即時,等號成立.此時. 12分

∴直線的方程為. 14分

解法2:由,得, 5分

∵直線與曲線相切, 設切點的坐標為,其中,

則直線的方程為:,化簡得. 6分

到直線的距離 7分

8分

9分

. 10分

當且僅當,即時,等號成立. 12分

∴直線的方程為. 14分

解法3:由,得, 5分

∵直線與曲線相切, 設切點的坐標為,其中,

則直線的方程為:,化簡得. 6分

到直線的距離 7分

8分

9分

. 10分

當且僅當,即時,等號成立,此時. 12分

∴直線的方程為. 14分

考點:拋物線的標準方程、點到直線的距離公式、向量的數(shù)量積、均值定理.

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3

a

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