Question

（滿分14分）已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點．

（1）求證：AF∥平面PEC；

（2）求PC與平面ABCD所成的角的正切值；

（3）求二面角的正切值．

Answer 1

（1）證明見解析：（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）取PC的中點O，連接OF、OE，利用線線平行得出平行四邊形，進而再證明線線平行于線面平行；（2）先作出線面角，再利用線面垂直的性質(zhì)證明線面角，再利用直角三角形進行求角；（3）利用三垂線定理作出二面角的平面角再利用直角三角形進行求角．

解題思路: （1）無論求異面直線所成的角、直線與平面所成的角，還是二面角，都是先作角，再證角，最后通過解三角形進行求解，其難點是作角與證角．

試題解析：（Ⅰ）取PC的中點O，連接OF、

OE．∴FO∥DC，且

∴FO∥AE

又E是AB的中點．且AB=DC．∴FO=AE．

∴四邊形AEOF是平行四邊形．∴AF∥OE

又OE?平面PEC，AF?平面PEC

∴AF∥平面PEC

（Ⅱ）連接AC

∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角

在Rt△PAC中，

即直線PC與平面ABCD所成的角正切值為

（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延長線于M．連接PM，由三垂線定理．得PM⊥CE

∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．

由△AME∽△CBE，可得,,

∴二面角P一EC一D的正切值為

考點：1．線面平行的判定；2．線面角；2．二面角．