(05年遼寧卷)(12分)
函數在區(qū)間內可導,導函數是減函數,且.設,是曲線在點處的切線方程,并設函數.
(Ⅰ)用、、表示m;
(Ⅱ)證明:當,;
(Ⅲ)若關于x的不等式在上恒成立,其中a、b為實數,求b的取值范圍及a與b所滿足的關系.
解析:(Ⅰ) ……2分
(Ⅱ)證明:令
因為遞減,所以遞增,因此,當;當.
所以是唯一的極值點,且是極小值點,可知的最小值為0,因此即 ……6分
(Ⅲ)解法一:,是不等式成立的必要條件,以下討論設此條件成立.
對任意成立的充要條件是
另一方面,由于滿足前述題設中關于函數的條件,利用(II)的結果可知,的充要條件是:過點(0,)與曲線相切的直線的斜率大于,該切線的方程為
于是的充要條件是 ……10分
綜上,不等式對任意成立的充要條件是
①
顯然,存在a、b使①式成立的充要條件是:不等式 ②
有解、解不等式②得 ③
因此,③式即為b的取值范圍,①式即為實數在a與b所滿足的關系. ……12分
(Ⅲ)解法二:是不等式成立的必要條件,以下討論設此條件成立.
對任意成立的充要條件是
……8分
令,于是對任意成立的充要條件是
由
當時當時,,所以,當時,取最小值.因此成立的充要條件是,即 ………10分
綜上,不等式對任意成立的充要條件是
①
顯然,存在a、b使①式成立的充要條件是:不等式
②
有解、解不等式②得
因此,③式即為b的取值范圍,①式即為實數在a與b所滿足的關系. ……12分
科目:高中數學 來源: 題型:
(09年江蘇百校樣本分析)(10分)挑選空軍飛行學員可以說是“萬里挑一”,要想通過需過“五關”――目測、初檢、復檢、文考、政審等. 某校甲、乙、丙三個同學都順利通過了前兩關,有望成為光榮的空軍飛行學員. 根據分析,甲、乙、丙三個同學能通過復檢關的概率分別是0.5,0.6,0.75,能通過文考關的概率分別是0.6,0.5,0.4,通過政審關的概率均為1.后三關相互獨立.
(1)求甲、乙、丙三個同學中恰有一人通過復檢的概率;
(2)設通過最后三關后,能被錄取的人數為,求隨機變量的期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
(08年莆田四中一模理) (14分)
由函數確定數列,,若函數的反函數 能確定數列,,則稱數列是數列的“反數列”。
(1)若函數確定數列的反數列為,求的通項公式;
(2)對(1)中,不等式對任意的正整數恒成立,求實數的范圍;
(3)設,若數列的反數列為,與的公共項組成的數列為;求數列前項和
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