【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中點,現(xiàn)以AE為折痕將△DAE向上折起,D變?yōu)?/span>D',使得平面D'AE⊥平面ABCE.
(1)求證:平面ABD'⊥平面BD'E;
(2)求直線CE與平面BCD'所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2).
【解析】
(1)證明AE⊥BE,BE⊥AD',結合D′E⊥AD′,推出AD′⊥面BD′E,然后明面ABD′⊥面BD′E.
(2)建立空間直角坐標系,求出平面BCD′的法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解直線CE與平面BCD'所成角的正弦值即可.
(1)證明:AE=BE,AB=4,
∴AB2=AE2+BE2,∴AE⊥BE,
∵平面D′AE⊥平面ABCE,且交線為AE,
∴BE⊥平面D'AE,又平面
,∴BE⊥AD',
又D′E⊥AD′,AE∩D′E=E,∴AD′⊥面BD′E,∵AD′面ABD′,
∴面ABD′⊥面BD′E.
(2)解:取中點為
,連接
,因為
,則
,又平面D′AE⊥平面ABCE,且交線為AE,所以
平面ABCE,
如圖建立空間直角坐標系,
則A(4,2,0)、C(0,0,0)、B(0,2,0)、,E(2,0,0),
從而(2,0,0),
,
.
設為平面BCD′的法向量,
則,取
,則
,
,所以
.
,
故直線CE與平面所成角的正弦值為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)對任意的
都有
,且
時
的最大值為
,下列四個結論:①
是
的一個極值點;②若
為奇函數(shù),則
的最小正周期
;③若
為偶函數(shù),則
在
上單調遞增;④
的取值范圍是
.其中一定正確的結論編號是( )
A.①②B.①③C.①②④D.②③④
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四棱柱中,已知底面
為等腰梯形,
,
,M,N分別是棱
,
的中點
(1)證明:直線平面
;
(2)若平面
,且
,求經(jīng)過點A,M,N的平面
與平面
所成二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,
,
,
為
的中點,點
,
分別在線段
,
上運動(其中
不與
,
重合,
不與
,
重合),且
,沿
將
折起,得到三棱錐
,則三棱錐
體積的最大值為__________;當三棱錐
體積最大時,其外接球的表面積的值為_______________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于,若數(shù)列
滿足
,則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”.
(Ⅰ)已知數(shù)列:1,m+1,m2是“K數(shù)列”,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在首項為-1的等差數(shù)列為“K數(shù)列”,且其前n項和
滿足
?若存在,求出
的通項公式;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”,數(shù)列
不是“K數(shù)列”,若
,試判斷數(shù)列
是否為“K數(shù)列”,并說明理由.
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【題目】過圓上的點
作圓
的切線,過點
作切線的垂線
,若直線
過拋物線
的焦點
.
(1)求直線與拋物線
的方程;
(2)若直線與拋物線
交于點
,點
在拋物線
的準線上,且
,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知動點到兩點
,
的距離之和為4,點
在
軸上的射影是C,
.
(1)求動點的軌跡方程;
(2)過點的直線交點
的軌跡于點
,交點
的軌跡于點
,求
的最大值.
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【題目】石嘴山市第三中學高三年級統(tǒng)計學生的最近20次數(shù)學周測成績(滿分150分),現(xiàn)有甲乙兩位同學的20次成績如莖葉圖所示:
(1)根據(jù)莖葉圖求甲乙兩位同學成績的中位數(shù),并將同學乙的成績的頻率分布直方圖填充完整;
(2)根據(jù)莖葉圖比較甲乙兩位同學數(shù)學成績的平均值及穩(wěn)定程度(不要求計算出具體值,給出結論即可);
(3)現(xiàn)從甲乙兩位同學的不低于140分的成績中任意選出2個成績,記事件為“其中2個成績分別屬于不同的同學”,求事件
發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在正方體中,異面直線
和
分別在上底面
和下底面
上運動,且
,現(xiàn)有以下結論:
①當與
所成角為60°時,
與
所成角為60°;
②當與
所成角為60°時,
與側面
所成角為30°;
③與
所成角的最小值為45°
④與
所成角的最大值為90°
其中正確的是( )
A.①③B.②④C.①③④D.②③④
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