已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對一切正整數(shù)n，點Pn(n，Sn)都在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，且在點Pn(n，Sn)處的切線的斜率為kn.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若bn＝2knan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

 

（1）an＝2n＋1（2）Tn＝·4n＋2－

【解析】(1)∵點Pn(n，Sn)在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，

∴Sn＝n2＋2n(n∈N*)，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，當n＝1時，a1＝S1＝3滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋1.

(2)由f(x)＝x2＋2x，求導(dǎo)得f′(x)＝2x＋2.

∵在點Pn(n，Sn)處的切線的斜率為kn，

∴kn＝2n＋2，∴bn＝2knan＝4·(2n＋1)·4n，

∴Tn＝4×3×4＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n＋1)×4n，用錯位相減法可求得Tn＝·4n＋2－.

 

練習冊系列答案
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已知A、B、C是不共線的三點，直線m垂直于直線AB和AC，直線n垂直于直線BC和AC，則直線m，n的位置關(guān)系是________．

 

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等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為________．

 

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已知數(shù)列{an}前n項和為Sn，且a2an＝S2＋Sn對一切正整數(shù)都成立．

(1)求a1，a2的值；

(2)設(shè)a1＞0，數(shù)列前n項和為Tn，當n為何值時，Tn最大？并求出最大值．

 

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設(shè)C1、C2、…、Cn、…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線y＝x相切，對每一個正整數(shù)n，圓Cn都與圓Cn＋1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知{rn}為遞增數(shù)列．

(1)證明：{rn}為等比數(shù)列；

(2)設(shè)r1＝1，求數(shù)列的前n項和.

 

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在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a2＝2a1＋3，且3a2，a4，5a3成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)設(shè)bn＝log3an，求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn.

 

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數(shù)列1，2，3，4，…的前n項和是__________．

 

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在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.

(1)求證：數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn；

(3)求證：不等式Sn＋1≤4Sn對任意n∈N*皆成立．

 

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