已知函數(shù)f(x)=
ln(1+x)x
.?
(1)確定y=f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性;?
(2)設h(x)=x•f(x)-x-ax3在(0,2)上有極值,求a的取值范圍.
分析:(1)由題意,先對函數(shù)f(x)求導,有式子特點分析得出結(jié)論;
(2)由題意,利用式子的特點及函數(shù)極值的定義分析函數(shù)在定義域內(nèi)倒數(shù)的正負符號進而求解.
解答:解:(1)由已知函數(shù)求導得f′(x)=
x
x+1
-ln(1+x)
x2

g(x)=
x
x+1
-ln(1+x)
,則g′(x)=
1
(x+1)2
-
1
x+1
=
-x
(x+1)2
<0
?
∴g(x)在(0,+∞)上遞減,g(x)<g(0)=0,∴f′(x)<0,
因此f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.?
(2)由h(x)=xf(x)-x-ax3可得,h(x)=ln(1+x)-x-ax3
h′(x)=
1
x+1
-1-3ax2=
-x(3ax2+3ax+1)
x+1
?
若a≥0,任給x∈(0,+∞),
1
x+1
-1<0
,-3ax2<0,∴h′(x)<0,
∴h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,則f(x)在(0,2)無極值;?
若a<0,h(x)=x•f(x)-x-ax3在(0,2)上有極值的充要條件是
φ(x)=3ax2+3ax+1在(0,2)上有零點,?
∴φ(0)•φ(2)<0,解得a<-
1
18
綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-
1
18
).
點評:(1)此問重點考查了利用導函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)此問重點考查了函數(shù)極值的概念及函數(shù)在定義域下存在極值的充要條件,在解題過程中有考查了不等式在求解是分類討論的思想.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實數(shù)a,b的值:
(2)當a<3時,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達式和切線l的方程;
(2)當x∈[
1
e
,e]
時(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點的橫坐標為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當k>0時,試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設f(x)有兩個極值點x1,x2,若過兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當1<a<2時,若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點的個數(shù).

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