Question

已知函數f（x）=ax³+bx²-2x+c在x=-2時有極大值6，在x=1時有極小值．
（1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）的極小值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出f′（x），由x=-2時有極大值6，在x=1時有極小值，所以代入y和y′=0中得到關于a、b的方程組，求出a、b即可；
（2）根據（1）中所得函數的解析式，將x=1代入即可得到函數f（x）的極小值．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=ax³+bx²-2x+c，
∴f′（x）=3ax²+2bx-2，
由函數f（x）在x=-2時有極大值6，在x=1時有極小值．
可得：-2，1為方程f′（x）=3ax²+2bx-2=0的兩個根，
由韋達定理可得：-2+1=-1=-

2b

3a

，且：-2×1=-2=-

2

3a

，
解得a=

1

3

，b=

1

2

；
（2）由函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x+c在x=-2時有極大值6，
∴f（-2）=-

8

3

+2+4+c=6，
解得：c=

8

3

，
故f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x+

8

3

，
故f（1）=

1

3

+

1

2

-2+

8

3

=

3

2

，
即函數f（x）的極小值為

3

2

．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的極值，考查學生利用導數研究函數極值的能力，以及會用待定系數法球函數解析式的能力．