Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若存在x₀∈[

1

e

，e]（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），使不等式2f（x₀）≥g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=lnx+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．
（2）由已知得a≤2lnx+x+

3

x

，x∈[

1

e

，e]，設(shè)h（x）=2lnx+x+

3

x

，x∈[

1

e

，e]，則h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，x∈[

1

e

，e]，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值

解答： 解：（1）由已知知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=lnx+1，
當(dāng)x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（

1

e

，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
①0＜t＜t+2＜

1

e

，沒有最小值；
②0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

時(shí)，f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

；
③

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

時(shí)，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt．
∴f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

．
（2）∵不等式2f（x₀）≥g（x₀）成立，即2x₀lnx₀≥-x02+ax0-3，
∴a≤2lnx+x+

3

x

，x∈[

1

e

，e]，
設(shè)h（x）=2lnx+x+

3

x

，x∈[

1

e

，e]，
則h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，x∈[

1

e

，e]，
①x∈[

1

e

，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
②x∈（1，e]時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=4，對(duì)一切x₀∈[

1

e

，e]使不等式2f（x₀）≥g（x₀）成立，
∴a≤h（x）_min=4．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．