【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)
,
時(shí),求證:
.
【答案】(1)分類討論,詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析.
【解析】
(1)對(duì)求導(dǎo)得
,令
,再對(duì)
求導(dǎo),根據(jù)
的取值范圍確定
的正負(fù),即可得解;
(2)不妨設(shè),由題意
,對(duì)函數(shù)
求導(dǎo)后可得
即
,由
、
單調(diào)性可得
,再令
,求導(dǎo)后可得
,即可得證.
(1),
.
設(shè),則
.
令,解得
.
當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
.
當(dāng)時(shí),
,
函數(shù)
單調(diào)遞增,沒(méi)有極值點(diǎn);
當(dāng)時(shí),
,
且當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
當(dāng)時(shí),
有兩個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)
有兩個(gè)極值點(diǎn).
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)
的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0;當(dāng)
時(shí),函數(shù)
的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.
(2)由(1)知,、
為
的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,不妨設(shè)
,
在
上單調(diào)遞減.
下面先證,只需證
.
,
得,
.
設(shè),
,
則,
在
上單調(diào)遞減,
,
,
.
函數(shù)
在
上也單調(diào)遞減,
.
要證
,只需證
,
即證.
設(shè)函數(shù),
,則
.
設(shè),則
.
在
上單調(diào)遞增,
,即
.
在
上單調(diào)遞增,
.
當(dāng)
時(shí),
,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們把活躍網(wǎng)店數(shù)量較多的村莊稱為淘寶村,隨著電子商務(wù)在中國(guó)的發(fā)展,不少農(nóng)村出現(xiàn)了一批專業(yè)的淘寶村,已知某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有多個(gè)淘寶村,現(xiàn)從該鄉(xiāng)鎮(zhèn)淘寶村中隨機(jī)抽取家商戶,統(tǒng)計(jì)他們某一周的銷售收入,結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
銷售收入(收入) | ||||
商戶數(shù) |
(1)從這家商戶中按該周銷售收入超過(guò)
萬(wàn)元與不超過(guò)
萬(wàn)元分為
組,按分層抽樣從中抽取
家參加經(jīng)驗(yàn)交流會(huì),并從這
家中選
家進(jìn)行發(fā)言,求選出的
家恰有
家銷售收入超過(guò)
萬(wàn)元的概率;
(2)若這家商戶中有
家商戶入駐兩家網(wǎng)購(gòu)平臺(tái),其中
家銷售收入高于
萬(wàn)元,完成下面的
列聯(lián)表,并判斷能否有
的把握認(rèn)為“銷售收入是否高于
萬(wàn)元與入駐兩家網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)有關(guān)”?
入駐兩家網(wǎng)購(gòu)平臺(tái) | 僅入駐一家網(wǎng)購(gòu)平臺(tái) | 合計(jì) | |
銷售收入高于 | |||
銷售收入不高于 | |||
合計(jì) |
附:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為
、
,
是
與
的等差中項(xiàng),其中
、
、
都是正數(shù),過(guò)點(diǎn)
和
的直線與原點(diǎn)的距離為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)
,求△
面積的最大值;
(3)已知定點(diǎn),直線
與橢圓交于
、
相異兩點(diǎn).證明:對(duì)任意的
,都存在實(shí)數(shù)
,使得以線段
為直徑的圓過(guò)
點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)求函數(shù)的極值;
(2)對(duì),不等式
都成立,求整數(shù)k的最大值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)
,當(dāng)
時(shí),求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球
的球面上,
,
是邊長(zhǎng)為
正三角形,
分別是
的中點(diǎn),
,則球
的體積為_________________。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2,離心率
,
(1)求橢圓方程;
(2)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)
,與圓
相切于點(diǎn)
,
①證明:(其中
為坐標(biāo)原點(diǎn));
②設(shè),求實(shí)數(shù)
的取值范圍..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是:重量不超過(guò)的包裹收費(fèi)
元;重量超過(guò)
的包裹,除
收費(fèi)
元之外,超過(guò)
的部分,每超出
(不足
,按
計(jì)算)需再收
元.該公司將最近承攬的
件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如下:
包裹重量(單位: | |||||
包裹件數(shù) |
公司對(duì)近天,每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表:
包裹件數(shù)范圍 | |||||
包裹件數(shù) (近似處理) | |||||
天數(shù) |
以上數(shù)據(jù)已做近似處理,并將頻率視為概率.
(1)計(jì)算該公司未來(lái)天內(nèi)恰有
天攬件數(shù)在
之間的概率;
(2)(i)估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值;
(ii)公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn),剩余的用作其他費(fèi)用.目前前臺(tái)有工作人員人,每人每天攬件不超過(guò)
件,工資
元.公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減
人,試計(jì)算裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望,并判斷裁員是否對(duì)提高公司利潤(rùn)更有利?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)購(gòu)已經(jīng)逐漸融入了人們的生活.在家里面不用出門就可以買到自己想要的東西,在網(wǎng)上付款即可,兩三天就會(huì)送到自己的家門口,如果近的話當(dāng)天買當(dāng)天就能送到,或者第二天就能送到,所以網(wǎng)購(gòu)是非常方便的購(gòu)物方式.某公司組織統(tǒng)計(jì)了近五年來(lái)該公司網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)(單位:人)與時(shí)間
(單位:年)的數(shù)據(jù),列表如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
24 | 27 | 41 | 64 | 79 |
(1)依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù),是否可用線性回歸模型擬合與
的關(guān)系,請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)
并加以說(shuō)明(計(jì)算結(jié)果精確到0.01).(若
,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合)
附:相關(guān)系數(shù)公式
,參考數(shù)據(jù)
.
(2)建立關(guān)于
的回歸方程,并預(yù)測(cè)第六年該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)(計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)).
(參考公式:
,
)
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