Question

【題目】已知橢圓的短軸長為2，離心率，

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，

①證明：（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

②設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍..

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析②

【解析】

(1)由題意可列出三個關(guān)于的方程：，解方程后即可得橢圓方程；

(2)①根據(jù)圓心到直線的距離等于圓的半徑，得與的等量關(guān)系，要證明，只需證明即可，從而將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理消去坐標(biāo)，得到關(guān)于的代數(shù)式，再利用前面與的等量關(guān)系即可達(dá)到目的；

②直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，將代入橢圓的方程得，再由圓的垂徑定理可得，結(jié)合得到，由的范圍可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

解（1）∵∴

又

∴

∴橢圓的方程為

①∵直線與相切

∴，即

由消去得

設(shè)

則

∵

∴.

②∵直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，

∴

∴

由(2)①知

∴即

∴

又

∴的取值范圍為.