如圖所示，已知△AOB中，AB＝2OB＝4，D為AB的中點，若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的，記二面角B－AO－C的大小為．

(Ⅰ)若＝，求證：平面COD⊥平面AOB；

(Ⅱ)若∈[，]時，求二面角C－OD－B的余弦值的最小值．

答案：
解析：

　　解法一：(Ⅰ)如圖所示，以O為原點，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，

　　OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系O－xyz，

　　則A(0，0，2)，B(0，2，0)，D(0，1，)，C(2sin，2cos，0)．

　　設＝(x，y，z)為平面COD的一個法向量，

　　由，得，　3分

　　取z＝sinθ，則＝(cos，－sin，sin)＝(0，－，1)

　　因為平面AOB的一個法向量為＝(1，0，0)，得·＝0，

　　因此平面COD⊥平面AOB．　6分

　　(Ⅱ)設二面角C－OD－B的大小為α，由(1)得

　　當＝時，cosα＝0；當∈(，]時，tan≤－，

　　cosα＝＝＝－，　10分

　　故－≤cosα＜0．因此cosα的最小值為－，

　　綜上，二面角C－OD－B的余弦值的最小值為－．　12分

　　解法二：(Ⅰ)因為AO⊥OB，二面角B－AO－C為，　3分

　　所以OB⊥OC，又OC⊥OA，所以OC⊥平面AOB

　　所以平面AOB⊥平面COD．　6分

　　(Ⅱ)當＝時，二面角C－OD－B的余弦值為0；　7分

　　當∈(，]時，過B作OD的垂線，垂足為E，

　　過C作OB的垂線，垂足為F，過F作OD的垂線，垂足為G，連結(jié)CG，

　　則∠CGF的補角為二面角C－OD－B的平面角．

　　在Rt△OCF中，CF＝2sin，OF＝－2cos，

　　在Rt△CGF中，GF＝OFsin＝－cos，CG＝，

所以cos∠CGF＝＝－．因為∈(，]，tan≤－，故0＜cos∠CGF＝≤．所以二面角C－OD－B的余弦值的最小值為－．　12分


練習冊系列答案
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23
時，求圓O的半徑．

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π2
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4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，已知△AOB中，∠AOB=
π
2
，AB=2OB=4，D為AB的中點，若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的，記二面角B-AO-C的大小為θ．
（I）若θ=
π
2
，求證：平面COD⊥平面AOB；
（II）若θ∈[
π
2
，
2π
3
]時，求二面角C-OD-B的余弦值的最小值．

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AC
•
BC
=0，|BC|=2|AC|．
（I）建立適當?shù)淖鴺讼担髾E圓方程；
（II）如果橢圓上有兩點P、Q，使∠PCQ的平分線垂直于AO，證明：存在實數(shù)λ，使
PQ
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．

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（本小題滿分12分）如圖所示，已知中，AB=2OB=4，D為AB的中點，若是繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的，記二面角B—AO—C的大小為（I）若，求證：平面平面AOB；（II）若時，求二面角C—OD—B的余弦值的最小值。

 

 

 

 

 

 

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