Question

已知向量

a

=（sinωx-cosωx，sinωx），

b

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx）．設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

+λ（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈（

1

2

，1）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

π

5

，0），求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換求得f（x）=

a

•

b

+λ=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，再根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)，可得2ω•π-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，結(jié)合ω∈（

1

2

，1），可得ω 的值．
（2）由y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

π

5

，0），求得λ的值，可得f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-1．由 0≤x≤

π

2

，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

+λ=sin²ωx-cos²ωx+2

3

sinωxcosωx+λ
=-cos2ωx+

3

sin2ωx+λ=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，
再根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)，可得sin（2ωx-

π

6

）=±1，
2ω•π-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，即ω=

k

2

+

1

3

．
結(jié)合ω∈（

1

2

，1），可得ω=

5

6

．
（2）由y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

π

5

，0），得 f（

π

5

）=0．
即λ=-2sin（

5

6

×

2π

5

-

π

6

）=-2sin

π

6

=-1，故 f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-1．
由 0≤x≤

π

2

，有-

π

6

≤

5

3

x-

π

6

≤

2π

3

．
∴-

1

2

≤2sin（

5

3

x-

π

6

）≤1，得-2≤f（x）≤1．
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍為[-2，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．