Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)為F.若C的右準(zhǔn)線l的方程為x＝4，離心率e＝.

(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2) 設(shè)點(diǎn)P為準(zhǔn)線l上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸上方．圓M經(jīng)過O、F、P三點(diǎn)，求當(dāng)圓心M到x軸的距離最小時(shí)圓M的方程．

Answer 1

解：(1) 由題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，則解得a＝2，c＝2.從而b²＝a²－c²＝4.所以所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.

(2) (解法1)由(1)知F(2，0)．由題意可設(shè)P(4，t)，t>0.

線段OF的垂直平分線方程為x＝1.①

因?yàn)榫�段FP的中點(diǎn)為，斜率為，

所以FP的垂直平分線方程為y－＝－(x－3)，即y＝－x＋＋.②

聯(lián)立①②，解得.

因?yàn)閠>0，所以＝2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即t＝2時(shí)，圓心M到x軸的距離最小，此時(shí)圓心為M(1，2)，半徑為OM＝3.故所求圓M的方程為(x－1)²＋(y－2)²＝9.

(解法2)由(1)知F(2，0)．由題意可設(shè)P(4，t)，t>0.因?yàn)閳AM過原點(diǎn)O，故可設(shè)圓M的方程為x²＋y²＋Dx＋Ey＝0.將點(diǎn)F、P的坐標(biāo)代入得解得

所以圓心M的坐標(biāo)為，即(1，＋)．因?yàn)閠>0，所以＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即t＝2時(shí)，圓心M到x軸的距離最小，此時(shí)E＝－4.故所求圓M的方程為x²＋y²－2x－4y＝0.