Question

已知中心在原點的橢圓C的左焦點F（-

3

，0），右頂點A（2，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）斜率為

1

2

的直線l經(jīng)過點F且交橢圓C于A、B兩點，求弦長|AB|．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用中心在原點的橢圓C的左焦點F（-

3

，0），右頂點A（2，0），可得a，c，求出b，即可求橢圓C的標準方程；
（2）直線l的方程為y=

1

2

（x+

3

），代入橢圓方程，利用弦長公式，即可求弦長|AB|．

解答： 解：（1）∵中心在原點的橢圓C的左焦點F（-

3

，0），右頂點A（2，0），
∴c=-

3

，a=2，
∴b=1，
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+y2=1；
（2）直線l的方程為y=

1

2

（x+

3

），代入橢圓方程可得2x²+2

3

x-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

3

，x₁x₂=-

1

2

，
∴|AB|=

1+ 1 4

•

3-4×(- 1 2 )

=

5

2

．

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．