Question

已知直線l恒過定點(diǎn)（-1，-1），圓C的方程為x²+y²+2ax-2ay+a²=0（a≠0）．
（1）如果a=2時，直線l被圓C截得的弦長為2

3

，求直線l的方程；
（2）如果圓C上存在不同的兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都等于1，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）當(dāng)a=2時，圓C的方程即 （x+2）²+（y-2）²=4，由于直線l被圓C截得的弦長為2

3

，可得弦心距d=

4-( 3 )2

=1．再分當(dāng)直線l的斜率不存在時，當(dāng)直線l的斜率存在時2中情況，分別求得要求直線l的方程．
（2）圓C的方程即 （x+a）²+（y-a）²=a²，表示以C（-a，a）為圓心，半徑等于|a|的圓．由題意可得|OC|-1＞1，即

(-a)2+a2

＞2，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時，圓C的方程為x²+y²+4x-4y+2²=0，即 （x+2）²+（y-2）²=4，
表示以（-2，2）為圓心，半徑等于2的圓．
由于直線l被圓C截得的弦長為2

3

，故弦心距d=

4-( 3 )2

=1．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，方程為x=-1，滿足條件；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為 y+1=k（x+1），即 kx-y+k-1=0，
由d=

|-2k-2+k-1|

k2+1

=1，求得k=-

4

3

，故此時直線l的方程為 4x+3y+7=0．
故要求直線l的方程為x=-1，或4x+3y+7=0．
（2）圓C的方程為x²+y²+2ax-2ay+a²=0 即 （x+a）²+（y-a）²=a²，表示以C（-a，a）為圓心，半徑等于|a|的圓．
如果圓C上存在不同的兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都等于1，|OC|-1＞1，即

(-a)2+a2

＞2，即 a²＞2．
解得 a＞

2

，或a＜-

2

，就所求的a的范圍為 {a|a＞

2

，或a＜-

2

}．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．