Question

（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x，y）是橢圓

x2

3

+y²=1上的一個動點(diǎn)，求S=x+y的最大值．
（2）設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥2

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用,不等式

分析：本題（1）利用三角代換，將x+y轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式，通過三角化簡，求出S的最大值；（2）將原式配湊成積為定值的形式，利用基本不等式求出原式的最小值．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)P（x，y）是橢圓

x2

3

+y²=1上的一個動點(diǎn)，
∴設(shè)x=

3

cosθ，y=sinθ，θ∈R．
∴S=x+y=

3

cosθ+sinθ=2(

3

2

cosθ+

1

2

sinθ)=2sin(θ+

π

3

)≤2．
∴S=x+y的最大值為2．
（2）∵a，b，c為正實(shí)數(shù)，
∴

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc=

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+

1

3

abc+

1

3

abc+

1

3

abc
≥6

6	1 a3 × 1 b3 × 1 c3 × 1 3 abc× 1 3 abc× 1 3 abc

=6

6	1 27

=2

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)

1

a3

=

1

b3

=

1

c3

=

1

3

abc，即a=b=c=

6	3

時取等號．
∴

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥2

3

．

點(diǎn)評：本題考查了三角代換求最值，基本不等式法求最值，注意在求和的最小值時，要運(yùn)用基本不等式，就必須先將積湊成定值．本題有一定的綜合性，屬于中檔題．