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已知f（x）是定義在（0，﹢∞）上的增函數，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（
1
2
）=-1．
（1）求證：f（2）=1；
（2）求不等式f（x）-f（x-3）＞1的解集．
考點：抽象函數及其應用,函數單調性的性質
專題：函數的性質及應用
分析：（1）利用賦值法，令令x=y=1，求得f（1）=0，再令x=2，y=
1
2
，求得f（2）的值等于1，問題得證，
（2）原不等式轉化為f（x）＞f（x-3）+f（2）=f（2x-6），再根據函數f（x）是增函數，求得不等式的解集．
解答： 解：（1）∵令x=y=1，
則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
再令x=2，y=
1
2
，
則f（1）=f（2）+f（
1
2
），
∴f（2）=1，
（2）∵f（x）-f（x-3）＞1，
∴f（x）＞f（x-3）+f（2）=f（2x-6），
∵f（x）是定義在（0，﹢∞）上的增函數，
∴
x＞2x-6
x＞0
2x-6＞0
，
解得，3＜x＜6，
故不等式f（x）-f（x-3）＞1的解集為（3，6）．
點評：本題主要考查抽象函數所構造不等式的解法，一般來講，這類不等式的解法利用函數的單調性定義求解，要注意利用主條件等價轉化構造函數單調性模型，將函數值關系轉化為自變量關系解決．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在等差數列{an}和等比數列{bn}中，a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差數列，a2，b2，a3+2成等比數列
（1）求數列{an}、{bn}的通項公式
（2）求（b1-a1）+（b2+a2）+（b3-a3）+…+[bn+（-1）nan]．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x（x-c）2（x∈R，c是實常數）在x=2處取極大值．
（1）求c的值；
（2）在曲線y=f（x）上是否存在點M，使經過點M的切線與曲線y=f（x）有且僅有一個公共點？若存在，求點M的坐標；若不存在，簡要說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（文科）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=
2
，AB=1．
（1）求證：AB⊥平面PAD
（2）求異面直線AB與PC所成角的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=
lnx
x
．
（Ⅰ）若F（x）=
a
x
-f（x）（a∈R），求F（x）的極小值；
（Ⅱ）若G（x）=f（x）+mx在定義域內單調遞增，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
1
3
x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若x=1為f（x）的極值點，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
（2）求證：a+
1
a-1
≥3（a＞1）
（3）已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求
1
x
+
1
y
的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面上，
AB1
⊥
AB2
，|
OB1
|=|
OB2
|=1，
AP
=
AB1
+
AB2
．若|
OP
|＜
1
3
，則|
OA
|的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若△ABC的內角，A，B，C滿足3sinA=4sinB=5sinC，則cosB=
 
．

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