Question

某商店經(jīng)銷一種商品，每件進(jìn)價(jià)7元，市場(chǎng)預(yù)計(jì)以每件20元的價(jià)格銷售時(shí)該店一年可銷售2000件，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)每件銷售價(jià)格在每件20元的基礎(chǔ)上每減少一元?jiǎng)t增加銷售400件，而每增加一元?jiǎng)t減少銷售100件，現(xiàn)設(shè)每件的銷售價(jià)格為x元，x為整數(shù)．
（Ⅰ）寫出該商店一年內(nèi)銷售這種商品所獲利潤(rùn)y（元）與每件的銷售價(jià)格x（元）的函數(shù)關(guān)系式（并寫出這個(gè)函數(shù)的定義域）；
（Ⅱ）當(dāng)每件銷售價(jià)格x為多少元時(shí)，該商店一年內(nèi)利潤(rùn)y（元）最大，并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出價(jià)格為x時(shí)的銷售量，由銷售量乘以每一件的利潤(rùn)得到利潤(rùn)y（元）與每件的銷售價(jià)格x（元）的函數(shù)關(guān)系式，由銷售量大于0可知單價(jià)x小于40元，從而得到函數(shù)定義域；
（Ⅱ）利用配方法分段求出函數(shù)的最大值，兩段函數(shù)最大值中的最大者即為商店一年內(nèi)利潤(rùn)y的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)7＜x≤20，x∈N^*時(shí)，利潤(rùn)y=[2000+400（20-x）]（x-7），
當(dāng)20＜x＜40，x∈N^*時(shí)，利潤(rùn)y=[2000-100（x-20）]（x-7）．
∴y=

[2000+400(20-x)](x-7)，7＜x≤20，x∈N* [2000-100(x-20)](x-7)，20＜x＜40，x∈N*

，
函數(shù)的定義域?yàn)閧x∈N^*|7＜x＜40}；
（Ⅱ）∵y=

[2000+400(20-x)](x-7)，7＜x≤20，x∈N* [2000-100(x-20)](x-7)，20＜x＜40，x∈N*

=

-400[(x-16)2-81]， 7＜x≤20，x∈N* -100[(x- 47 2 )2- 1089 4 ]， 20＜x＜40，x∈N*

，
∴當(dāng)7＜x≤20時(shí)，則x=16，y_max=32400（元），
當(dāng)20＜x＜40時(shí)，則x=23或24，y_max=27200（元）．
綜上：當(dāng)x=16時(shí)，該商店獲得的利潤(rùn)最大為32400元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，訓(xùn)練了利用配方法求函數(shù)的最值，分段函數(shù)的最值要分段求，最后取最大者，是中檔題．