Question

(本小題滿分12分) 已知圓過兩點(diǎn),且圓心在上．

(1)求圓的方程；

(2)設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的兩條切線，為切點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1) (x－1)²＋(y－1)²＝4. (2) S＝2＝2＝2.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)出圓心（a,b），然后圓過兩點(diǎn),其中垂線必定過圓心，且圓心在上．聯(lián)立直線的方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心坐標(biāo)，進(jìn)而兩點(diǎn)距離公式求解半徑，得到圓的方程。

（2）因?yàn)樗倪呅蜳AMB的面積S＝S_△PAM＋S_△PBM=|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，根據(jù)兩個(gè)三三角形的底相同，高相等，那么即可知S＝2|PA|，只需要求解切線長(zhǎng)|PA|的最小值即可。

解：(1)設(shè)圓的方程為：(x－a)²＋(y－b)²＝r²(r>0)．

根據(jù)題意，得           ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分

解得a＝b＝1，r＝2，                            ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分

故所求圓M的方程為(x－1)²＋(y－1)²＝4.           ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分

(2)因?yàn)樗倪呅蜳AMB的面積S＝S_△PAM＋S_△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，

又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，  所以S＝2|PA|，      ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分而|PA|＝＝，   即S＝2.

因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，

即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點(diǎn)P，使得|PM|的值最小，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分

所以|PM|_min＝＝3，                   ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分

所以四邊形PAMB面積的最小值為S＝2＝2＝2.  ﹍﹍﹍12分

考點(diǎn)：本試題主要是考查了圓的方程的求解以及運(yùn)用切線長(zhǎng)和圓的半徑和圓心到圓外一點(diǎn)的距離的勾股定理的關(guān)系可知，求解四邊形面積的最值的問題就是轉(zhuǎn)換為解三角形面積的最值的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合該試題的關(guān)鍵是理解圓心和半徑是求解圓的方程核心，同時(shí)直線與圓相切時(shí)，構(gòu)成的四邊形的面積問題，能否轉(zhuǎn)化為一條切線和一個(gè)半徑以及一個(gè)圓心到圓外一點(diǎn)P的三角形的面積的最值,最終化簡(jiǎn)為只需要求解切線長(zhǎng)|PA|的最小值即可。。