Question

已知A，B，C為△ABC的三個內角，向量

α

=（cos

A-B

2

，

3

sin

A+B

2

），|

α

|=

2

．如果當C最大時，存在動點M，使得|

MA

|，|

AB

|，|

MB

|成等差數列，則

| MC |

| AB |

最大值是

 

．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：由

α

²=（cos

A-B

2

）²+（

3

sin

A+B

2

）²，得cos（A-B）+3cosC=0，當C最大時，A=B，cosC=-

1

3

．由|MA|，|AB|，|MB|成等差數列，知M的軌跡是以A，B為焦點、2|AB|為長軸的橢圓，由此能求出

| MC |

| AB |

最大值．

解答： 解：∵

α

=（cos

A-B

2

，

3

sin

A+B

2

），|

α

|=

2

，
∴

α

²=（cos

A-B

2

）²+（

3

sin

A+B

2

）²
=

1

2

[1+cos（A-B）+3-3cos（A+B）]=2，
∴0=cos（A-B）-3cos（A+B）=cos（A-B）+3cosC，
當C最大時，A=B，cosC=-

1

3

，
∵|MA|，|AB|，|MB|成等差數列，
∴|MA|+|MB|=2|AB|，
∴M的軌跡是以A，B為焦點、2|AB|為長軸的橢圓，
∵比值與單位的選擇無關，∴設|AB|=2，AB的中點為O，
由A=B，知|AC|=|BC|=p，
由余弦定理，2p²（1+

1

3

）=4，解得p²=

3

2

，
∴|OC|=

1

2

，
直觀判斷，當M是上述橢圓的短軸端點（與點C在AB的兩側），
這時|OM|=

3

，
∴

| MC |

| AB |

最大值為

1 2 + 3

2

=

2 3 + 2

4

．
故答案為：

2 3 + 2

4

．

點評：本題考查兩線段比值的最大值的求法，解題時要認真審題，注意向量、數列、橢圓等知識點的綜合運用．