Question

已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和，若T_n≥λ對?n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．（2）由

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用裂項(xiàng)求和法能求出實(shí)數(shù)λ的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)公差為d，
∵各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，
∴

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，
解得d=1或d=0（舍），
所以a₁=2，故a_n=n+1．…（5分）
（2）因?yàn)?span id="ejclat4" class="MathJye">

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，…（6分）
所以Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，…（8分）
而T_n隨著n的增大而增大，
所以T_n≥T₁=

1

2

-

1

3

=

1

6

，…（10分）
因?yàn)門_n≥λ對?n∈N^*恒成立，即λ≤

1

6

，
所以實(shí)數(shù)λ的最大值為

1

6

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．